Question

4．設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列，且a₁²+a₂²=1，則a₂²+a₃²的取值范圍是（　�。�

• A． [1，2]
• B． [4-2$\sqrt{3}$，4+2$\sqrt{3}$]
• C． [1，5]
• D． [3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列的公差為d，用a₂表示出a₁與a₃，根據(jù)題意${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$=$\frac{{{a}_{2}}^{2}{{+a}_{3}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}{{+a}_{2}}^{2}}$=1+$\frac{{4a}_{2}d}{{{2a}_{2}}^{2}-{2a}_{2}d{+d}^{2}}$=1+$\frac{4}{\frac{{2a}_{2}}k4akuqa+\frac2s6qckc{{a}_{2}}-2}$；利用基本不等式求出${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$的取值范圍．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由a₁²+a₂²=1，得${{（a}_{2}-d）}^{2}$+${{a}_{2}}^{2}$=1，
化為：2${{a}_{2}}^{2}$-2a₂d+d²=1；
∴a₂²+a₃²=${{a}_{2}}^{2}$+${{（a}_{2}+d）}^{2}$=2${{a}_{2}}^{2}$+2a₂d+d²；
∴${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$=$\frac{{{a}_{2}}^{2}{{+a}_{3}}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}{{+a}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{2a}_{2}}^{2}+{2a}_{2}d{+d}^{2}}{{{2a}_{2}}^{2}-{2a}_{2}d{+d}^{2}}$=1+$\frac{{4a}_{2}d}{{{2a}_{2}}^{2}-{2a}_{2}d{+d}^{2}}$=1+$\frac{4}{\frac{{2a}_{2}}uyckwwq+\fracuugsc6s{{a}_{2}}-2}$；
當(dāng)$\frac{{a}_{2}}cscm0u4$為正數(shù)時(shí)，$\frac{{2a}_{2}}gg06i4a$+$\fraceawggq6{{a}_{2}}$≥2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{2a}_{2}}akugecw$=$\frac6a42iak{{a}_{2}}$時(shí)取“=”，
∴${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$≤1+$\frac{4}{2\sqrt{2}-2}$=3+2$\sqrt{2}$；
當(dāng)$\frac{{a}_{2}}4gygcok$為負(fù)數(shù)時(shí)，$\frac{{2a}_{2}}iiqqoai$+$\frac4qyicck{{a}_{2}}$≤-2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{2a}_{2}}ssays4y$=$\fraca4ikgmu{{a}_{2}}$時(shí)取“=”，
∴${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$≥1+$\frac{4}{-2\sqrt{2}-2}$=3-2$\sqrt{2}$；
∴${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$的取值范圍是[3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了基本不等式求最值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．