Question

2．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是單位向量，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）的最大值為1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是單位向量，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，可設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），將（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）的表達式轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)的形式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)得到（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）的最大值．

解答 解：由題意設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），
則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=（1-cosθ，-sinθ）•（-cosθ，1-sinθ）
=-cosθ+cos²θ-sinθ+sin²θ
=1-（sinθ+cosθ）
=1-$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）的最大值為1+$\sqrt{2}$，
故答案為：1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的知識點是平面向量數(shù)量積的運算，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．