Question

20．已知圓C₁：x²+y²+4x=0，圓C₂：x²+y²-4x-60=0，動(dòng)圓 M和圓C₁外切，和圓C₂內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1$．

Answer 1

分析 由兩圓的方程分別找出圓心C₁與C₂的坐標(biāo)，及兩圓的半徑r₁與r₂，設(shè)圓M的半徑為r，根據(jù)圓M與C₁外切，得到圓心距MC₁等于兩半徑相加，即MC₁=r+1，又圓M與C₂內(nèi)切，得到圓心距MC₂等于兩半徑相減，即MC₂=9-r，由MC₁+MC₂等于常數(shù)2a，C₁C₂等于常數(shù)2c，利用橢圓的基本性質(zhì)求出b的值，可得出圓心M在焦點(diǎn)在x軸上，且長(zhǎng)半軸為a，短半軸為b的橢圓上，根據(jù)a與b的值寫(xiě)出此橢圓方程即可．

解答 解：由圓C₁：（x+2）²+y²=4，圓C₂：（x-2）²+y²=64，
得到C₁（-2，0），半徑r₁=2，C₂（2，0），半徑r₂=8，
設(shè)圓M的半徑為r，
∵圓M與C₁外切而又與C₂內(nèi)切，
∴MC₁=r+2，MC₂=8-r，
∴MC₁+MC₂=（r+2）+（8-r）=2a=10，又C₁C₂=2c=4，
∴a=5，c=2，
∴b=$\sqrt{21}$，
∴圓心M在焦點(diǎn)在x軸上，且長(zhǎng)半軸為10，短半軸為2$\sqrt{21}$的橢圓上，
則圓心M的軌跡方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓與圓的位置關(guān)系，橢圓的基本性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，兩圓的位置關(guān)系由圓心角d與兩圓半徑R，r的關(guān)系來(lái)判斷，當(dāng)d＜R-r時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=R-r時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)R-r＜d＜R+r時(shí)，兩圓相交；當(dāng)d=R+r時(shí)，兩圓外切；當(dāng)d＞R+r時(shí)，兩圓外離．