Question

3．空間四邊形ABCD的兩條對(duì)棱AC，BD互相垂直，AC，BD的長(zhǎng)分別為8和2，則平行四邊形兩條對(duì)棱的截面四邊形EFGH在平移過程中，面積的最大值是4．

Answer 1

分析 假設(shè)EFGN是截面四邊形，EFGN為平行四邊形，設(shè)EN=x（0＜x≤2），F(xiàn)E=y（0＜y≤8），xy=S（S為所求面積），利用EN∥BD，可得$\frac{AN+ND}{AD}$=1=$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{8}$，整理可得8=4x+y，利用基本不等式即可解得面積的最大值．

解答 解：如圖，假設(shè)EFGN是截面四邊形，EFGN為平行四邊形；
設(shè)EN=x（0＜x≤2），F(xiàn)E=y（0＜y≤8），xy=S（S為所求面積）；
由EN∥BD，可得：$\frac{EN}{BD}=\frac{AN}{AD}$=$\frac{x}{2}$，$\frac{DN}{AD}$=$\frac{NG}{AC}$=$\frac{y}{8}$，
兩式相加，得：$\frac{AN+ND}{AD}$=1=$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{8}$，
化簡(jiǎn)，得8=4x+y，
可得：8=4x+y≥2$\sqrt{4xy}$，（當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)等號(hào)成立），解得：xy≤4，
解得：S=xy≤4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面平行的性質(zhì)，四邊形取值范圍的求法，是中檔題，解題要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．