Question

11．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且cos（B-C）+cosA=$\frac{3}{2}$，a²=bc，則角A的大小為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由題意和三角函數(shù)公式可得sinBsinC=$\frac{3}{4}$，再由a²=bc和正弦定理可得sinA，解得A驗(yàn)證可得．

解答 解：∵△ABC中cos（B-C）+cosA=$\frac{3}{2}$，
∴cos（B-C）-cos（B+C）=$\frac{3}{2}$，
∴cosBcosC+sinBsnC-（cosBcosC-sinBsnC）=$\frac{3}{2}$，
∴2sinBsnC=$\frac{3}{2}$，sinBsinC=$\frac{3}{4}$，
再由a²=bc和正弦定理可得sin²A=sinBsinC=$\frac{3}{4}$，
由三角形中sinA＞0可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
若A=$\frac{2π}{3}$，則cos（B-C）+cosA=cos（B-C）-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴cos（B-C）=2，顯然矛盾，應(yīng)舍去
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查正余弦定理解三角形，注意去掉一解是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．