Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（1）求橢圓C的方程．
（2）過點(diǎn)F₂作不與x軸重合的直線交橢圓于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)，求△0MN面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）圓心到直線x-y+$\sqrt{2}$=0的距離d=$\frac{|0-0+\sqrt{2}|}{\sqrt{1+1}}$=1，從而確定b=1，從而求方程；
（2）設(shè)直線MN的方程為x-1=ay，從而聯(lián)立方程化簡(jiǎn)得（a²+2）y²+2ay-1=0，從而可得y₁+y₂=-$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{a}^{2}+2}$，從而化簡(jiǎn)得|y₁-y₂|_max=$\sqrt{2}$，從而求面積的最大值．

解答 解：（1）圓心到直線x-y+$\sqrt{2}$=0的距離d=$\frac{|0-0+\sqrt{2}|}{\sqrt{1+1}}$=1，
故b=1，
又∵e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=1，a=$\sqrt{2}$，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）設(shè)直線MN的方程為x-1=ay，
聯(lián)立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+ay}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
（a²+2）y²+2ay-1=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
故y₁+y₂=-$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{a}^{2}+2}$，
故（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂
=$\frac{4{a}^{2}}{（{a}^{2}+2）^{2}}$+4$\frac{1}{{a}^{2}+2}$
=$\frac{8{a}^{2}+8}{（{a}^{2}+2）^{2}}$=8（-$\frac{1}{（{a}^{2}+2）^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{2}+2}$）
=-8（$\frac{1}{{a}^{2}+2}$-$\frac{1}{2}$）²+2，
故|y₁-y₂|_max=$\sqrt{2}$，
而S=$\frac{1}{2}$|OF₂|（|y₁|+|y₂|）
=$\frac{1}{2}$|OF₂||y₁-y₂|
≤$\frac{1}{2}$•1•$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故△0MN面積S的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及橢圓與直線的位置關(guān)系應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力．