Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n和為S_n，滿足S_n=a_n+1+n²-3，n∈N^*，且S₃=15．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （1）由S_n=a_n+1+n²-3，n∈N^*，結(jié)合S₃=15，可得a₃，進一步求得a₂和a₁的值；
（2）由（1）猜測歸納出a_n=2n+1，然后直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）∵S₃=S₂+a₃=（a₃+1）+a₃=2a₃+1，
又S₃=15，∴a₃=7，
∵S₂=a₃+1=8，
又S₂=S₁+a₂=（a₂-2）+a₂=2a₂-2，
∴a₂=5，a₁=S₁=a₂-2=3，
綜上知a₁=3，a₂=5，a₃=7；
（2）由（1）猜想a_n=2n+1，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1時，a₁=3，2×1+1=3結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時，結(jié)論成立，即a_k=2k+1，
則${S_k}=3+5+7+…+（2k+1）=\frac{3+（2k+1）}{2}×k=k（k+2）$，
又${S_k}={a_{k+1}}+{k^2}-3$，∴$k（k+2）={a_{k+1}}+{k^2}-3$，解得a_k+1=2k+3，
∴a_k+1=2（k+1）+1，即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立；
綜①②所述，對任意n∈N^*，a_n=2n+1．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，屬中檔題．