Question

18．數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n-a_n+1=2S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{2a_n-1}是等差數(shù)列；
（2）若a₁=1，a₃=3，b_n=$\frac{36}{（2{a}_{n+1}+1）（2{a}_{n}+1）}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過對2S_n-a_n+1=2S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*）變形可知2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），進而可知2（2a_n-1）=（2a_n+1-1）+（2a_n-1-1）（n≥2，n∈N^*）；
（2）通過a₁=1、a₃=3及（1）可知數(shù)列{2a_n-1}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，進而計算可知a_n=n，裂項可知b_n=18（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），并項相加即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵2S_n-a_n+1=2S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴2（2a_n-1）=（2a_n+1-1）+（2a_n-1-1）（n≥2，n∈N^*），
∴數(shù)列{2a_n-1}是等差數(shù)列；
（2）解：∵a₁=1，a₃=3，
∴2a₁-1=1，$\frac{（2{a}_{3}-1）-（2{a}_{1}-1）}{3-1}$=a₃-a₁=3-1=2，
∴數(shù)列{2a_n-1}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，
∴2a_n-1=1+2（n-1）=2n-1，即a_n=n，
∴b_n=$\frac{36}{（2{a}_{n+1}+1）（2{a}_{n}+1）}$=$\frac{36}{（2n+3）（2n+1）}$=18（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴T_n=18（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）=18（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=6-$\frac{18}{2n+3}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．