Question

13．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c滿足：cosAcosC+sinAsinC+cosB=$\frac{3}{2}$，且a、b、c成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若$\frac{a}{tanA}$+$\frac{c}{tanC}$=$\frac{2b}{tanB}$，a=2，判斷三角形形狀．

Answer 1

分析 （1）化簡條件可得2sinAsinC=$\frac{3}{2}$，再由b²=ac求得2sin²B=$\frac{3}{2}$．根據(jù)b不是最大邊，可得B為銳角，從而求得B的值．
（2）由條件可得 $\frac{acosA}{sinA}$+$\frac{ccosC}{sinC}$=$\frac{2bcosB}{sinB}$，cosA+cosC=2cosB=1，求得 A=C=$\frac{π}{3}$，可得三角形為等邊三角形．

解答 解：（1）∵cosAcosC+sinAsinC+cosB=$\frac{3}{2}$，
∴2sinAsinC=$\frac{3}{2}$．
又∵b²=ac⇒sin²B=sinAsinC，
∴2sin²B=$\frac{3}{2}$．
而a，b，c成等比數(shù)列，所以b不是最大，故B為銳角，所以B=60°．
（2）由$\frac{a}{tanA}$+$\frac{c}{tanC}$=$\frac{2b}{tanB}$，可得  $\frac{acosA}{sinA}$+$\frac{ccosC}{sinC}$=$\frac{2bcosB}{sinB}$，
所以cosA+cosC=2cosB=1，又因?yàn)锳+C=$\frac{2π}{3}$，∴A=C=$\frac{π}{3}$，
所以三角形ABC是等邊三角形，

點(diǎn)評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．