Question

8．在公比大于1的等比數(shù)列{a_n}中，a₂=6，a₁+a₂+a₃=26，設(shè)c_n=a_n+b_n，且數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，b₁=a₁，b₃=-10．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞1，由a₂=6，a₁+a₂+a₃=26，可得$\frac{6}{q}+6+6q$=26，解得q即可得出．
（2）設(shè)等差數(shù)列{c_n}的公差為d，c_n=a_n+b_n，b₁=a₁，b₃=-10．可得c₁，c₃．利用等差數(shù)列的通項公式可得d．利用b_n=c_n-a_n即可得出．再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞1，∵a₂=6，a₁+a₂+a₃=26，
∴$\frac{6}{q}+6+6q$=26，
化為3q²-10q+3=0，q＞1．
解得q=3，
∴a_n=${a}_{2}{q}^{n-2}$=6×3^n-2=2×3^n-1．
（2）設(shè)等差數(shù)列{c_n}的公差為d，
c_n=a_n+b_n，b₁=a₁，
∴c₁=2a₁=4．
c₃=a₃+b₃=18-10=8，
∴8=4+2d，解得d=2．
∴c_n=4+2（n-1）=2n+2．
∴b_n=c_n-a_n=2（n+1）-2×3^n-1．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$2×\frac{n（n+3）}{2}$-2×$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=n²+3n-3ⁿ+1．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題