Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的首項a₁及數(shù)列的遞推關(guān)系式a_n+1=f（a_n）；
（2）若數(shù)列{a_n+c}成等比數(shù)列，求常數(shù)c的值，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）數(shù)列{a_n}中是否存在三項a_s，a_p，a_r（s＜p＜r），它們組成等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由遞推公式a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁求解
（2）利用遞推公式可得a_n=s_n-s_n-1，利用等比數(shù)列的定義可求c
（3）假設(shè)存在a_s，a_p，a_r成等差數(shù)列，則2a_p=a_s+a_r，結(jié)合（1）中的通項公式進行推理．

解答 解：（1）令n=1，則a₁=S₁=2a₁-3，所以a₁=3．      …（1分）
由S_n=2a_n-3n①，得S_n+1=2a_n+1-3（n+1）②，…（2分）
②式減①式，得a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，…（3分）
故數(shù)列的遞推關(guān)系式為a_n+1=2a_n+3．           …（4分）
（2）由（1）知，a_n+1=2a_n+3，則${a_{n+1}}+c=2{a_n}+c+3=2（{{a_n}+\frac{c+3}{2}}）$，…（1分）
由題意a_n+1+c=q（a_n+c），故當(dāng)q=2，且$c=\frac{c+3}{2}$時，數(shù)列{a_n+c}是等比數(shù)列，
所以當(dāng)c=3時，數(shù)列{a_n+c}成等比數(shù)列．     …（3分）
此時，$\frac{{{a_{n+1}}+3}}{{{a_n}+3}}=2$．故${a_n}+3=（{a_1}+3）•{2^{n-1}}$，即${a_n}=3•{2^n}-3$，n∈N^*．…（5分）
綜上，c=3，{a_n}的通項公式為${a_n}=3•{2^n}-3$，n∈N^*．   …（6分）
（3）假設(shè)a_s，a_p，a_r（s＜p＜r）成等差數(shù)列，則2a_p=a_s+a_r，…（1分）
即2（3•2^p-3）=（3•2^s-3）+（3•2^r-3），所以2^p+1=2^s+2^r，…（2分）
從而，2^p-s+1=1+2^r-s，…（4分）
因為s，p，r∈N^*且s＜p＜r，故2^p-s+1為偶數(shù)，而1+2^r-s為奇數(shù)．
所以，2^p-s+1=1+2^r-s不可能成立，即不存在滿足條件的三項．  …（6分）

點評 本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁的應(yīng)用及等比數(shù)列的定義，而對存在性問題，一般是先假設(shè)存在，然后由假設(shè)結(jié)合已知條件進行推理，看是否產(chǎn)生矛盾，從而判斷存在性．