Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=sinφ+cosφ}\\{y=sin2φ}\end{array}\right.$（φ 為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（其中t為常數(shù)）．
（1）若曲線C₁與C₂只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．
（2）當(dāng)t=-2時(shí)，求曲線C₁的點(diǎn)與曲線C₂上任取一點(diǎn)的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）把參數(shù)方程化為普通方程，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，由曲線C₁與C₂只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得方程組有唯一解，判別式等于零，從而求得t的值．
（2）在曲線C₁上任意取一點(diǎn)A（m，m²-1），則A到C₂ ：x+y=t的距離為d=$\frac{|m{+m}^{2}-1+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{{|（m+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}|}{\sqrt{2}}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得A到C₂ 的距離d取得最小值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=sinφ+cosφ}\\{y=sin2φ}\end{array}\right.$ （φ 為參數(shù)），即x²=1+y，即 y=x²-1．
由曲線C₂的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（其中t為常數(shù)），可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
即 x+y=t．
根據(jù)曲線C₁與C₂只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=t}\\{y{=x}^{2}-1}\end{array}\right.$ 有唯一解，即x²+x-t-1=0有唯一解，
∴△=1+4（t+1）=0，求得t=-$\frac{5}{4}$．
（2）當(dāng)t=-2時(shí)，曲線C₂ 即：x+y=-2，在曲線C₁：y=x²-1 上任意取一點(diǎn)A（m，m²-1），
則A到C₂ ：x+y=t的距離為d=$\frac{|m{+m}^{2}-1+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{{|（m+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}|}{\sqrt{2}}$，故當(dāng)m=-$\frac{1}{2}$時(shí)，A到C₂ ：x+y=t的距離d取得最小值為$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．

點(diǎn)評 本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．