Question

4．如圖，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，點M是AD的中點，點P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC，取BD的中點O，以點O為原點，OD，OP所在直線為y，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz
求證：PQ∥平面BCD．

Answer 1

分析 設C（x₀，y₀，0），由$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{QC}$，得Q（$\frac{3{x}_{0}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{3{y}_{0}}{4}，\frac{1}{2}$），求出$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{3{x}_{0}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{3{y}_{0}}{4}$，0），利用向量法能證明PQ∥平面BCD．

解答 證明：∵在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2$\sqrt{2}$，
點M是AD的中點，點P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC，取BD的中點O，
以點O為原點，OD，OP所在直線為y，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz
由題意得B（0，-$\sqrt{2}$，0），M（0，$\sqrt{2}$，1），P（0，0，$\frac{1}{2}$），
設C（x₀，y₀，0），由$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{QC}$，得Q（$\frac{3{x}_{0}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{3{y}_{0}}{4}，\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（$\frac{3{x}_{0}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{3{y}_{0}}{4}$，0），
∵平面BCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{n}$=0，
∵PQ?平面BCD，∴PQ∥平面BCD．

點評 本題考查線面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．