Question

2．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA₁=3，D是BC的中點，求直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 以$\left\{{\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{A{A_1}}}\right\}$為正交基底建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，由此利用向量法能求出直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值．

解答 解：以$\left\{{\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{A{A_1}}}\right\}$為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），
A₁（0，0，3），B₁（2，0，3），C₁（0，4，3），
$\overrightarrow{{A_1}D}=（1，2，-3）$，$\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=（{0，4，0}）$．
設(shè)平面A₁C₁D的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow n•\overrightarrow{{A_1}D}=x+2y-3z=0$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=4y=0$，
∴x=3z，y=0，令z=1，得x=3，$\overrightarrow n=（{3，0，1}）$．
設(shè)直線DB₁與平面A₁C₁D所成角為θ，
∵$\overrightarrow{D{B_1}}=（{1，-2，3}）$，
∴$sinθ=|cos＜\overrightarrow{D{B_1}}，\overrightarrow n＞|=\frac{{|3×1+0×（{-2}）+1×3|}}{{\sqrt{10}×\sqrt{14}}}=\frac{{3\sqrt{35}}}{35}$．
∴直線DB₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值為$\frac{{3\sqrt{35}}}{35}$．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．