Question

17．已知一圓與y軸相切，且在直線y=x上截得的弦AB=2$\sqrt{7}$，圓心在直線x-3y=0上，求此圓的方程．

Answer 1

分析 設(shè)出圓心C的坐標為（a，b），半徑為r，根據(jù)圓心C在直線x-3y=0上，列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，用b表示出a，同時根據(jù)圓C與y軸相切，得到圓的半徑r=|a|，由直線y=x與圓相交，利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線y=x的距離d，根據(jù)弦長的一半，弦心距d及圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值，進而得到a與半徑的值，寫出圓C的方程即可．

解答 解：設(shè)圓C的標準方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
此時圓心坐標為（a，b），半徑為r，
把圓心坐標代入直線x-3y=0中得：a=3b，
又圓C與y軸相切，∴r=|a|，
∵圓心C到直線y=x的距離d=$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|b|，弦長的一半為$\sqrt{7}$，
∴根據(jù)勾股定理得：2b²+7=a²=9b²，解得b=±1，
若b=1，a=3，r=3，此時圓C的標準方程為（x-3）²+（y-1）²=9；
若b=-1，a=-3，r=3，此時圓C的標準方程為（x+3）²+（y+1）²=9，
綜上，圓C的標準方程為（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．

點評 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，垂徑定理及勾股定理，當直線與圓相交時，常常利用弦長的一半，弦心距及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．