Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD中，O是底面正方形ABCD 的中心，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：EO∥平面PAD；
（Ⅱ）證明：DE⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，則PA∥EO，由此能證明EO∥平面PAD．
（Ⅱ）推導(dǎo)出BC⊥DC，BC⊥DE，從而DE⊥PC，由此能證明DE⊥平面PBC．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）連接AC，∵點(diǎn)O是底面正方形ABCD的中心，
∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，又∵E是PC的中點(diǎn)，
在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO…（4分）
∵EO?平面PAD，PA?平面PAD
∴EO∥平面PAD…（5分）
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，且PD?平面PCD，
∴平面PDC⊥平面ABCD，∵底面ABCD是正方形，有BC⊥DC，
又平面ABCD∩平面PCD=CD，∴BC⊥平面PDC．
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE．   ①…（9分）
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，
而DE是斜邊PC的中線，
∴DE⊥PC． ②…（11分）
又BC，PC?平面PBC，且BC∩PC=C，
∴DE⊥平面PBC．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．