Question

1．某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績（滿分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學生的平均分是85．
（Ⅰ） 計算甲班7位學生成績的方差s²； 
（Ⅱ）從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率．
參考公式：
方差${s^2}=\frac{1}{n}[{{{（{{x_1}-\overline x}）}^2}+{{（{{x_2}-\overline x}）}^2}+…+{{（{{x_n}-\overline x}）}^2}}]$，其中$\overline x=\frac{{{x_1}+{x_2}+…+{x_n}}}{n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平均數求出x的值，根據所給的莖葉圖，得出甲班7位學生成績，做出這7次成績的平均數，把7次成績和平均數代入方差的計算公式，求出這組數據的方差．
（Ⅱ）設甲班至少有一名學生為事件A，其對立事件為從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班沒有一名學生；先計算出從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生的所有抽取方法總數，和沒有甲班一名學生的方法數目，先求出從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班沒有一名學生的概率，進而結合對立事件的概率性質求得答案

解答 解：（ I）∵甲班學生的平均分是85，
∴$\frac{92+96+80+80+x+85+79+78}{7}=85$．…（1分）
∴x=5．…（3分）
則甲班7位學生成績的方差為s²=$\frac{1}{7}[{{{（{-6}）}^2}+{{（{-7}）}^2}+{{（{-5}）}^2}+{0^2}+{0^2}+{7^2}+{{11}^2}}]$=40．…（6分）
（ II）甲班成績在90（分）以上的學生有兩名，分別記為A，B，…（7分）
乙班成績在90（分）以上的學生有三名，分別記為C，D，E． …（8分）
從這五名學生任意抽取兩名學生共有10種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）． …（9分）
其中甲班至少有一名學生共有7種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．…（10分）
記“甲班至少有一名學生”為事件M，則$P（M）=\frac{7}{10}$，
即從成績在90（分）以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲校至少有一名學生的概率為$\frac{7}{10}$． …（12分）

點評 本小題主要考查莖葉圖、樣本均值、樣本方差、概率等知識，考查或然與必然的數學思想方法，以及數據處理能力、運算求解能力和應用意識．