Question

4．在銳角△ABC中，交A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列
（Ⅰ）若$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，b=$\sqrt{3}$，求a+c的值；
（Ⅱ）求2sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出B=60°，A+C=120°；
（Ⅰ）由數(shù)量積的定義得出c•a•cosB=$\frac{3}{2}$，求出ac的值，再利用余弦定理求出a²+c²的值，即可求出a+c；
（Ⅱ）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)2sinA+sinC，根據(jù)C的范圍求出2sinA+sinC的取值范圍．

解答 解：銳角△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，
又A+B+C=180°，
∴B=60°，A+C=120°；
（Ⅰ）當(dāng)$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$時(shí)，即c•a•cosB=$\frac{3}{2}$，
∴c•a•cos60°=$\frac{3}{2}$，
∴ac=3；
又b=$\sqrt{3}$，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-2•$\frac{3}{2}$=3，
∴a²+c²=6；
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=6+2×3=12，
∴a+c=2$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）2sinA+sinC=2sin（120°-C）+sinC
=2sin120°cosC-2cos120°sinC+sinC
=$\sqrt{3}$cosC+2sinC
=$\sqrt{7}$sin（C+θ），且θ=arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$，30°＜C＜90°，
∴30°＜θ＜45°
∴60°＜C+θ＜135°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（C+θ）≤1，
∴$\frac{\sqrt{14}}{2}$＜$\sqrt{7}$sin（C+θ）≤$\sqrt{7}$，
∴2sinA+sinC的取值范圍是（$\frac{\sqrt{14}}{2}$，$\sqrt{7}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量以及三角恒等變換和余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是充分利用余弦定理的性質(zhì)，是綜合性題目．