Question

7．關(guān)于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，a、b∈R）的兩實(shí)根為x₁，x₂，若0＜x₁＜1＜x₂＜2，則$\frac{a}$的取值范圍是（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 先利用二次方程根的分布得出關(guān)于a，b的約束條件，再根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，設(shè)z=$\frac{a}$，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線OP過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)，z分別、取得最大或最小，從而得到$\frac{a}$的取值范圍即可．

解答 解：設(shè)f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=2a+b+3＜0}\\{f（0）=a+b+1＞0}\\{f（2）=3a+b+7＞0}\end{array}\right.$，
作出點(diǎn)（a，b）滿(mǎn)足的可行域?yàn)椤鰽BC的內(nèi)部，
其中點(diǎn)A（-2，1）、B（-3，2）、C（-4，5），
而式子$\frac{a}$的幾何意義是△ABC內(nèi)部任一點(diǎn)（a，b）與原點(diǎn)O連線的斜率，
而K_OA=-$\frac{1}{2}$，K_OB=-$\frac{2}{3}$，K_OC=-$\frac{5}{4}$，
作圖，易知$\frac{a}$∈$（-\frac{5}{4}，-\frac{1}{2}）$，
故答案為：（-$\frac{5}{4}$，-$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本小題是一道以二次方程的根的分布為載體的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，能力要求較高，屬于中檔題．