Question

13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB邊（包括端點）上一點F，BC邊（包括端點）上一點E滿足線段EF分△ABC的面積為相等的兩部分；
（1）設(shè)BF=x，EF=y，將y表示為x的函數(shù)；
（2）求線段EF長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）過F作FG⊥BE于G，把sinB用含有x的代數(shù)式表示，得到FG=$\frac{3}{5}x，BG=\frac{4}{5}x$，進一步得到EG，然后利用等積法列式可得$y=\sqrt{{x}^{2}+\frac{100}{{x}^{2}}-16}$（$\frac{5}{2}≤$x≤5）；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求得線段EF長的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)BF=x，EF=y，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，
過F作FG⊥BE于G，則$sinB=\frac{3}{5}$=$\frac{FG}{x}$，
∴FG=$\frac{3}{5}x$，BG=$\frac{4}{5}x$，
則EG=$\sqrt{{y^2}-\frac{9}{25}{x^2}}$，
故有$\frac{1}{2}（\sqrt{{y^2}-\frac{9}{25}{x^2}}+\frac{4}{5}x）\frac{3}{5}x=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×3×4$．
化簡，得：${y^2}={x^2}+\frac{100}{x^2}-16$（$\frac{5}{2}$≤x≤5）．
∴$y=\sqrt{{x}^{2}+\frac{100}{{x}^{2}}-16}$（$\frac{5}{2}≤$x≤5）；
（2）設(shè)f（x）=${y^2}={x^2}+\frac{100}{x^2}-16$（$\frac{5}{2}$≤x≤5）．
∵f（x）在[$\frac{5}{2}，\sqrt{10}$]上為減函數(shù)，在（$\sqrt{10}，5$]上為增函數(shù)，
且f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{25}{4}$，f（5）=13，f（$\sqrt{10}$）=4，
∴線段WF長的取值范圍為$[2，\sqrt{13}]$．

點評 本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，是中檔題．