Question

20．根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程：
（1）經過點（-3，-1）；
（2）焦點為直線3x-4y-12=0與坐標軸的交點．

Answer 1

分析 （1）P（-3，-1）在第三象限，所以滿足條件的拋物線的標準方程可以是y²=-2p₁x（p₁＞0）或x²=-2p₂y（p₂＞0），代入（-3，-1），即可得出結論．
（2）先根據(jù)拋物線是標準方程可確定焦點的位置，再由直線3x-4y-12=0與坐標軸的交點可得到焦點坐標，根據(jù)拋物線的焦點坐標和拋物線的標準形式可得到標準方程．

解答 解：（1）因為點（-3，-1）在第三象限，
所以滿足條件的拋物線的標準方程可以是y²=-2p₁x（p₁＞0）或x²=-2p₂y（p₂＞0），
解得p₁=$\frac{1}{6}$，p₂=$\frac{9}{2}$    
因此，滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為y²=-$\frac{1}{3}$x和x²=-9y．
（2）對于直線方程3x-4y-12=0，
令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4，
∴拋物線的焦點為（0，-3）或（4，0）．
當焦點為（0，-3）時，$\frac{p}{2}$=3，
∴p=6，此時拋物線的標準方程為x²=-12y；
當焦點為（4，0）時，$\frac{p}{2}$=4，
∴p=8，此時拋物線的標準方程為y²=16x，
∴滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x²=-12y和y²=16x．

點評 本題主要考查拋物線的標準方程．拋物線的標準方程的焦點一定在坐標軸上且定點一定在原點，屬于中檔題．