Question

1．已知點(diǎn)P、Q分別為函數(shù)f（x）=x²+1（x≥0）和$g（x）=\sqrt{x-1}$圖象上的點(diǎn)，則點(diǎn)P和Q兩點(diǎn)距離的最小值為$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．

Answer 1

分析 由題意可知，函數(shù)f（x）=x²+1（x≥0）和$g（x）=\sqrt{x-1}$互為反函數(shù)，則求出f（x）圖象上的點(diǎn)到直線y=x的距離的最小值乘以2得答案．

解答 解：如圖，
函數(shù)f（x）=x²+1（x≥0）和$g（x）=\sqrt{x-1}$互為反函數(shù)，
其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，
設(shè)f（x）=x²+1（x≥0）上一點(diǎn)P（x₀，y₀），
由f′（x₀）=2x₀=1，得${x}_{0}=\frac{1}{2}$，
∴P（$\frac{1}{2}，\frac{5}{4}$），則P到直線y=x的距離為d=$\frac{|\frac{1}{2}-\frac{5}{4}|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{8}$．
∴點(diǎn)P和Q兩點(diǎn)距離的最小值為2d=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．