Question

6．要做一個容積為250πm³的無蓋圓柱體蓄水池，已知池底單位造價為池壁單位造價的兩倍，問蓄水池的尺寸應怎樣設計才能使總造價最低？

Answer 1

分析 設半徑為R，高為h，根據(jù)圓柱的體積公式求出半徑和高的關系，求出總造價的函數(shù)表達式，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值．

解答 解：設半徑為R，高為h，池壁單位造價為a，則池底單位造價為2a，
則由圓柱的體積公式得πR²h=250π，
即R²H=250，
則h=$\frac{250}{{R}^{2}}$，
則底面積πR²，側面積：2πRh=2πR•$\frac{250}{{R}^{2}}$=$\frac{500π}{R}$，
總造價y=2aπR²+$\frac{500π}{R}$，•a，
則函數(shù)的導數(shù)y′=4aπR-$\frac{500πa}{{R}^{2}}$=2aπ（2R-$\frac{250}{{R}^{2}}$）=2aπ•$\frac{2{R}^{3}-250}{{R}^{2}}$，
由y′=0，得2R³=250，即R³=125，R=5，
即當R＞5時，y′＞0，當0＜R＜5時，y′＜0，
即當R=5時，函數(shù)取得極小值同時也是最小值．
此時高h=$\frac{250}{{R}^{2}}$=10，
即蓄水池的底面半徑為5米，高為10米時，總造價最低．

點評 本題主要考查生活中的優(yōu)化問題，根據(jù)條件求出函數(shù)的表達式，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關鍵．