Question

【題目】已知為實數(shù)，數(shù)列滿足，.

（Ⅰ）當(dāng)和時，分別寫出數(shù)列的前5項；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時，存在正整數(shù)，使得；

（Ⅲ）當(dāng)時，是否存在實數(shù)及正整數(shù)，使得數(shù)列的前項和？若存在，求出實數(shù)及正整數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）見解析

【解析】

（I）利用遞推公式，依次計算出的值.（II）當(dāng)時，，此時數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，且公差為，故總有一項是不大于的.根據(jù)這一項在之間討論，結(jié)合數(shù)列的遞推公式，判斷出正整數(shù)存在.（III）將分成三類，求得的表達式，由此判斷出不存在實數(shù)正整數(shù)，使得.

（Ⅰ）當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

（Ⅱ）當(dāng)時，. 所以，在數(shù)列中直到第一個小于等于的項出現(xiàn)之前，數(shù)列是以為首項，為公差的遞減的等差數(shù)列.

即.

所以，當(dāng)足夠大時，總可以找到，使.

（1）若，令，則存在正整數(shù)，使得.

（2）若，因為，則，

令，則存在正整數(shù)，使得.

綜述所述，則存在正整數(shù)，使得.

（Ⅲ）①當(dāng)時，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，（），

令，，而此時為奇數(shù)，所以不成立；又不成立，所以不存在正整數(shù)，使得.

②當(dāng)時，……

所以數(shù)列的周期是4，

當(dāng)，時，；

當(dāng)，時，；

當(dāng)，時，；

當(dāng)，時，.

所以（）.

所以或者是偶數(shù)，或者不是整數(shù)，即不存在正整數(shù)，使得.

③當(dāng)時，

（），不存在正整數(shù)，使得.

綜述所述，不存在實數(shù)正整數(shù)，使得.