Question

10．如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長(zhǎng)都相等，則異面直線AB₁和A₁C所成的角的余弦值大小為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $-\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過(guò)A作AC的垂線為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AB₁和A₁C所成的角的余弦值大�。�

解答 解：以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過(guò)A作AC的垂線為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長(zhǎng)為2，
則A（0，0，0），B₁（$\sqrt{3}$，1，2），A₁（0，0，2），C（0，2，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，2$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，2，-2），
設(shè)異面直線AB₁和A₁C所成的角的余弦值為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}C}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{{A}_{1}C}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{4}$．
∴異面直線AB₁和A₁C所成的角的余弦值大小為$\frac{1}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．