Question

17．已知拋物線y²=4x，A、B分別是拋物線上位于x軸上、下兩側(cè)的點(diǎn)，且A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為C、D．$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{9}{4}$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=-17．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)A（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），B（$\frac{{n}^{2}}{4}$，n），（m＞0，n＜0），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得mn=-18，求得C，D的坐標(biāo)，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得到所求值．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），準(zhǔn)線為x=-1，
設(shè)A（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），B（$\frac{{n}^{2}}{4}$，n），（m＞0，n＜0），
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{9}{4}$，可得$\frac{（mn）^{2}}{16}$+mn=$\frac{9}{4}$，
解得mn=-18，
由題意可得C（-1，m），D（-1，n），
即有$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$=1+mn=1-18=-17．
故答案為：-17．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查拋物線的方程和準(zhǔn)線方程的運(yùn)用，注意運(yùn)用設(shè)而不求法，屬于中檔題．