Question

20．過橢圓一個焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q，A₁、A₂為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，A₁P和A₂Q交于點(diǎn)M，A₂P和A₁Q交于點(diǎn)N，則MF⊥NF．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．F（-c，0）．設(shè)PQ的方程為：my=x+c．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），不妨設(shè)y₁＞y₂．與橢圓方程聯(lián)立化為（b²m²+a²）y²-2mcb²y-b⁴=0．直線A₂P的方程為：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}（x-a）$，直線A₁Q的方程為：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+a}（x+a）$，聯(lián)立解得x=$\frac{a[2m{y}_{1}{y}_{2}-c（{y}_{1}+{y}_{2}）+a（{y}_{1}-{y}_{2}）]}{-c（{y}_{1}-{y}_{2}）+a（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：y₁-y₂=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．可得x=$-\frac{{a}^{2}}{c}$．即直線A₂P與直線A₁Q的交點(diǎn)N在橢圓的左準(zhǔn)線l：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$上．同理可得：A₁P和A₂Q交于點(diǎn)M也在橢圓的左準(zhǔn)線l：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$上．下面證明：$\overrightarrow{MF}⊥\overrightarrow{NF}$．利用$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{NF}$=0即可．

解答 證明：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．F（-c，0）．
設(shè)PQ的方程為：my=x+c．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），不妨設(shè)y₁＞y₂．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為（b²m²+a²）y²-2mcb²y-b⁴=0．
∴y₁+y₂=$\frac{2mc^{2}}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-^{4}}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$．
直線A₂P的方程為：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}（x-a）$，
直線A₁Q的方程為：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+a}（x+a）$，
聯(lián)立解得x=$\frac{a[{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}+a（{y}_{1}-{y}_{2}）]}{{y}_{1}{x}_{2}-{y}_{2}{x}_{1}+a（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{a[2m{y}_{1}{y}_{2}-c（{y}_{1}+{y}_{2}）+a（{y}_{1}-{y}_{2}）]}{-c（{y}_{1}-{y}_{2}）+a（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
y₁-y₂=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2a^{2}\sqrt{1+{m}^{2}}}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$．
分子u=a$[\frac{-{2mb}^{4}}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}-\frac{2m{c}^{2}^{2}}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$+$\frac{2{a}^{2}^{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}]$，
分母v=-$\frac{2ac^{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$+$\frac{2mca^{2}}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$．
∴x=$\frac{u}{v}$=$-\frac{{a}^{2}}{c}$．
∴直線A₂P與直線A₁Q的交點(diǎn)N在橢圓的左準(zhǔn)線l：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$上．
同理可得：A₁P和A₂Q交于點(diǎn)M也在橢圓的左準(zhǔn)線l：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$上．
下面證明：$\overrightarrow{MF}⊥\overrightarrow{NF}$．
${y}_{1}^{2}$=$^{2}（1-\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}）$=$\frac{^{2}（{a}^{2}-{x}_{1}^{2}）}{{a}^{2}}$．
$\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{NF}$=$（\frac{{a}^{2}}{c}-c）^{2}$+y_My_N
=$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{x}_{1}^{2}-{a}^{2}}$$（\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}-{a}^{2}）$
=$\frac{^{4}}{{c}^{2}}$-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$=0．
∴$\overrightarrow{MF}⊥\overrightarrow{NF}$．
∴MF⊥NF．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．