Question

20．在極坐標(biāo)中，直線l的方程為ρ（3cosθ-4sinθ）=2，曲線C的方程為ρ=m（m＞0）． 
（1）求直線l與極軸的交點(diǎn)到極點(diǎn)的距離；
（2）若曲線C上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為$\frac{1}{5}$，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令θ=0，得ρ（3cos0-4sin0）=2，由此能求出直線l與極軸的交點(diǎn)到極點(diǎn)的距離．
（2）先求出直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程，由曲線C表示以原點(diǎn)為圓心，以m為半徑的圓，且原點(diǎn)到直線l的距離為$\frac{2}{5}$，結(jié)合題設(shè)條件能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵直線l的方程為ρ（3cosθ-4sinθ）=2，
∴令θ=0，得ρ（3cos0-4sin0）=2，
∴3ρ=2，
∴直線l與極軸的交點(diǎn)到極點(diǎn)的距離ρ=$\frac{2}{3}$．
（2）直線l的直角坐標(biāo)方程為3x-4y-2=0，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=m²，
曲線C表示以原點(diǎn)為圓心，以m為半徑的圓，且原點(diǎn)到直線l的距離為$\frac{2}{5}$，
∵曲線C上恰好存在兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{1}{5}＜m＜\frac{3}{5}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{1}{5}$，$\frac{3}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與極軸的交點(diǎn)到極點(diǎn)的距離的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．