Question

15．已知橢圓C的焦點坐標為F₁（-2，0）和F₂（2，0），一個短軸頂點$B（0，-\sqrt{5}）$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知過F₁的直線與橢圓相交于A、B，傾斜角為45度，求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）設橢圓C的標準方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，由題意可得c=2，b=$\sqrt{5}$，由a，b，c的關系，即可得到橢圓的方程；
（2）求出直線AB的方程，代入橢圓的方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用韋達定理，再由${S}_{△AB{F}_{2}}$=${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$+${S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•（|y₁|+|y₂|）=2|y₁-y₂|，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）設橢圓C的標準方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
且c²=a²-b²（c＞0），
由已知，得：c=2，$b=\sqrt{5}$，
∴a²=b²+c²=5+4=9，a=3，
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
（2）直線AB的方程為：y=x+2，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程：
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{5{x}^{2}+9{y}^{2}=45}\end{array}\right.$，
代入消元得：14y²-20y-25=0，
△=400-4×14×（-15）＞0，
y₁+y₂=$\frac{10}{7}$，y₁y₂=-$\frac{25}{14}$，
${S}_{△AB{F}_{2}}$=${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$+${S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•（|y₁|+|y₂|）=$\frac{1}{2}$×4|y₁-y₂|
=2$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=2$\sqrt{\frac{100}{49}+\frac{100}{14}}$=$\frac{6\sqrt{50}}{7}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的性質和a，b，c的關系，考查三角形的面積的求法，注意運用直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查運算能力，屬于中檔題．