Question

12．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，其右焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，橢圓C的右頂點(diǎn)為D．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=x+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B與橢圓的左、右頂點(diǎn)不重合），且滿足DA⊥DB，求m．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的條件，求得c=1，進(jìn)而得到a，b，可得橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡整理解方程可得m，注意檢驗(yàn)．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
右焦點(diǎn)為（c，0），直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為（m，n），
即有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m-c}=-1}\\{\frac{1}{2}n=\frac{m+c}{2}+1}\end{array}\right.$，解得m=-1，n=c+1，
由題意可得c+1=2，
可得c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）D（2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=x+m代入橢圓方程3x²+4y²=12，
可得7x²+8mx+4m²-12=0，
即有△=64m²-28（4m²-12）＞0，
解得-$\sqrt{7}$＜m＜$\sqrt{7}$，
x₁+x₂=-$\frac{8m}{7}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{7}$，
y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m），
$\overrightarrow{DA}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{DB}$=（x₂-2，y₂），
由DA⊥DB，可得$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=0，
即為（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即有（x₁-2）（x₂-2）+（x₁+m）（x₂+m）=0，
即為2x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）+4+m²=0，
即$\frac{8{m}^{2}-24}{7}$+（m-2）•$\frac{-8m}{7}$4+m²=0，
解得m=-2或-$\frac{2}{7}$．
當(dāng)m=-2時(shí)，求得交點(diǎn)為（2，0），（$\frac{2}{7}$，-$\frac{12}{7}$），
與題意不符，舍去．
則m=-$\frac{2}{7}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率及點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．