Question

6．函數(shù)F（x）=xf（x）（x∈R）在（-∞，0）上是減函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，下列不等式成立的是（　　）

• A． F（-$\frac{3}{4}$）≤F（a²-a+1）
• B． F（-$\frac{3}{4}$）＞F（a²-a+1）
• C． F（-$\frac{3}{4}$）≥F（a²+a+1）
• D． F（-$\frac{3}{4}$）＜F（a²+a+1）

Answer 1

分析 首先判斷出F（x）的是偶函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)F（x）=xf（x）（x∈R）在（-∞，0）上是減函數(shù)，則知函數(shù)F（x）=xf（x）x∈R，在（0，+∞）上是增函數(shù)，再比較$\frac{3}{4}$和a²-a+1的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案．

解答 解：∵y=x是奇函數(shù)，f（x）是奇函數(shù)，
∴函數(shù)F（x）=xf（x）是偶函數(shù)，
∴F（-$\frac{3}{4}$）=F（$\frac{3}{4}$），
∵函數(shù)F（x）=xf（x）（x∈R）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)F（x）=xf（x）（x∈R）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵a²-a+1=${（a-\frac{1}{4}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
∴$F（\frac{3}{4}）$≤F（a²-a+1），
∵F（-$\frac{3}{4}$）=F（$\frac{3}{4}$），
∴F（-$\frac{3}{4}$）≤F（a²-a+1），
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查奇函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是能判斷出函數(shù)F（x）的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．