Question

16．已知函數(shù)f（x）=log₃x+$\frac{1}{2}$的定義域為[1，9]求y=[f（x）]²-f（x²）的最大、最小值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 將函數(shù)式子化簡為y=（log₃x）²-log₃x-$\frac{1}{4}$，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，注意x的取值范圍．

解答 解：f（x²）=log₃x²+$\frac{1}{2}$=2log₃x+$\frac{1}{2}$，
y=[f（x）]²-f（x²）=（log₃x）²-log₃x-$\frac{1}{4}$，
令t=log₃x，∵x∈[1，9]，∴0≤t≤2．
y=t²-t-$\frac{1}{4}$=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，即x=$\sqrt{3}$時，y=[f（x）]²-f（x²）取得最小值-$\frac{1}{2}$；
當(dāng)t=2，即x=9時，y=[f（x）]²-f（x²）取得最大值$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查了對數(shù)性質(zhì)，換元法和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，屬于基礎(chǔ)題．