Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，以坐標(biāo)原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié)PB交橢圓C于另一點E，證明：直線AE與x軸相交于定點．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率e，以及圓心（0，0）到直線x-y+$\sqrt{6}=0$的距離求出a，b，即可求解橢圓的方程．（2）設(shè)直線PB的方程為y=k（x-4）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，設(shè)點B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），通過韋達(dá)定理求出直線方程，即可求出定點坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即a²=$\frac{4}{3}^{2}$…（2分）
又∵圓心（0，0）到直線x-y+$\sqrt{6}=0$的距離為$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{3}$，∴b=$\sqrt{3}$．
∴a=2，故橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（4分）
（2）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為y=k（x-4）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0①…（6分）
設(shè)點B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則A（x₁，-y₁），直線AE的方程為$y-{y_2}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_2}）$
令y=0，得x=${x}_{2}-\frac{{y}_{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，…（8分）
再將y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入
整理得x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{2}+{x}_{1}-8}$②…（10分）
由①得x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
代入②整理得x=1，
所以直線AE與x軸相交于定點（1，0）…（12分）．

點評 本題考查直線方程與橢圓方程的綜合應(yīng)用，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．