Question

6．在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA=$\frac{3}{5}$，tan（A-B）=-$\frac{1}{2}$．
（1）求tanB的值；
（2）若b=5，求c．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系求出tanA，再利用兩角差的正切公式，即可求出tanB；
（2）求出sinB與cosB，計(jì)算sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答 解：（1）銳角三角形ABC中，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴cosA=$\frac{4}{5}$，tanA=$\frac{3}{4}$；
又tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanA•tanB}$=$\frac{\frac{3}{4}-tanB}{1+\frac{3}{4}tanB}$=-$\frac{1}{2}$，
∴解得tanB=2；
（2）∵tanB=2，∴$\frac{sinB}{cosB}$=2，sinB=2cosB；
∴sin²B+cos²B=4cos²B+cos²B=5cos²B=1，
∴cosB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
∴sinC=sin[π-（A+B）]
=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
=$\frac{11\sqrt{5}}{25}$；
又b=5，且$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴c=$\frac{b•sinC}{sinB}$=$\frac{5×\frac{11\sqrt{5}}{25}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{11}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與解三角形的應(yīng)用問題，也考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．