Question

9．函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+2}$（x∈R），若f（x+$\frac{π}{3}$）=a有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．

Answer 1

分析 可轉(zhuǎn)化為f（x）=a有實(shí)數(shù)解，討論函數(shù)的性質(zhì)以確定函數(shù)的值域，從而解得．

解答 解：若使f（x+$\frac{π}{3}$）=a有實(shí)數(shù)解，
則只需使f（x）=a有實(shí)數(shù)解，
又∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+2}$在R上是奇函數(shù)，
且f（0）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x+\frac{2}{x}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故0＜f（x）≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
結(jié)合函數(shù)的奇偶性知，
f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]，
故a的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．