Question

19．曲線y=$\frac{1}{4}$x²和它在點(diǎn)（2，1）處的切線與x軸圍成的封閉圖形的面積為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 先求出導(dǎo)數(shù)和切線的斜率，可得切線的方程，根據(jù)題意畫出區(qū)域，然后依據(jù)圖形，利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可．

解答 解：y=$\frac{1}{4}$x²在（2，1）點(diǎn)處的切線l，
則y′=$\frac{1}{2}$x，
∴直線l的斜率k=y′|_x=2=1，
∴直線l的方程為y-1=x-2，即y=x-1，
當(dāng)y=0時，x-1=0，即x=1，
所圍成的面積如圖所示：S=${∫}_{0}^{2}$$\frac{1}{4}$x²dx-$\frac{1}{2}$×1×1
=$\frac{1}{12}$x³|${\;}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{8}{12}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，會求出原函數(shù)的能力，以及考查了數(shù)形結(jié)合的思想，同時會利用定積分求圖形面積的能力，屬于中檔題．