Question

10．已知f（x）=$\frac{{2}^{x+1}+1}{{2}^{x}-1}$，且對于任意x∈[1，3]，不等式f（x）＞|x-2|+m恒成立，則m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-4]
• B． （-$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （-∞，-$\frac{9}{8}$）
• D． （-∞，$\frac{10}{7}$）

Answer 1

分析 判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：對于任意x∈[1，3]，不等式f（x）＞|x-2|+m恒成立，
則等價(jià)為對于任意x∈[1，3]，不等式$\frac{{2}^{x+1}+1}{{2}^{x}-1}$＞|x-2|+m恒成立，
f（x）=$\frac{{2}^{x+1}+1}{{2}^{x}-1}$=$\frac{2（{2}^{x}-1）+3}{{2}^{x}-1}$=2+$\frac{3}{{2}^{x}-1}$，
則函數(shù)f（x）在x∈[1，3]上為減函數(shù)，
故最小值為f（3）=$\frac{{2}^{4}+1}{{2}^{3}-1}$=$\frac{17}{7}$，
設(shè)g（x）=|x-2|+m，
則g（x）關(guān)于x=2對稱，
作出f（x）和g（x）的圖象如圖，
要使f（x）＞|x-2|+m恒成立，
則只需要當(dāng)x=3時(shí) f（3）＞|3-2|+m恒成立即可，
即$\frac{17}{7}$＞1+m，
則m＜$\frac{17}{7}$-1=$\frac{10}{7}$，
故m＜$\frac{10}{7}$，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的大小問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．