Question

10．已知f（n）=n²+n（n∈N₊），g（n）=2ⁿ（n∈N₊），試判斷并證明f（n）與g（n）的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．

解答 解：易知f（1）=2，f（2）=6，f（3）=12，f（4）=20，f（5）=30；
g（1）=2，g（2）=4，g（3）=8，g（4）=16，g（5）=32，
依此猜想：f（1）=g（1），當(dāng)n=2、3、4時(shí)f（n）＞g（n），當(dāng)n≥5時(shí)，f（n）＜g（n）．當(dāng)n≤4時(shí)已驗(yàn)證，
下面用當(dāng)n≥5時(shí)，f（n）＜g（n）．
（1）當(dāng)n=5時(shí)，由上知f（5）=30，g（5）=32，f（n）＜g（n）成立；
（2）假設(shè)n=k（k≥5）時(shí)命題成立，即f（k）＜g（k），則：g（k+1）=2g（k）＞2f（k）=2k²+2k，f（k+1）=（k+1）²+（k+1）=k²+3k+2
∴g（k+1）-f（k+1）＞（2k²+2k）-（k²+3k+2）=k²-k-2=（k-2）（k+1）
∵k≥5，∴（k-2）（k+1）＞0，∴g（k+1）＞f（k+1）
這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．
綜上知，當(dāng)n≥5時(shí)，f（n）＜g（n）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．