Question

7．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿對角線AC把矩形折成二面角D-AC-B，并且D點在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上．
（1）證明：AD⊥平面DBC；
（2）求三棱錐D-ABC的體積；
（3）若在四面體D-ABC內(nèi)有一球，當球的體積最大時，球的半徑是多少？

Answer 1

分析 （1）首先由D點在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上．得到面面垂直，結(jié)合翻折中不變的直角，轉(zhuǎn)換出BC與平面ABD垂直，進而得到AD與平面BCD垂直；
（2）求三棱錐體積首先找到底面積和高分別為多少，底面為直角三角形，高為D到AB邊的距離；
（3）三棱錐內(nèi)體積最大的球為內(nèi)切球，求解球的半徑時采用將三棱錐體積分割的方法計算，分割成的每一個小三棱錐的底面為原棱錐的四個表面，高為內(nèi)切球的半徑．

解答 （1）證明：因為D點在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上，所以平面ABC⊥平面ABD，
因為BC⊥AB，平面ABC∩平面ABD=AB，
所以BC⊥平面ABD，
所以BC⊥AD，
因為AD⊥CD，BC∩CD=C，
所以AD⊥平面DBC；
（2）解：作DH垂直于底面交AB于點H，
因為AD⊥平面DBC，所以AD⊥平面DB，
因為AD=BC=3，AB=4，所以BD=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$
利用面積相等AD×BD=AB×DH，所以DH=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$．
所以三棱錐D-ABC的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•DH$=$\frac{1}{3}×6×\frac{3\sqrt{7}}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．
（3）解：當球的體積最大時，球與三棱錐D-ABC各面都相切，設(shè)球的半徑為R，球心為O，則有
V_D-ABC=V_O-ABC+V_O-BCD+V_O-ACD+V_O-ABD=$\frac{1}{3}R$（S_△ABC+S_△BCD+S_△ACD+S_△ABD）
S_△ABC=S_△ACD=6，S_△ABD=S_△BCD=$\frac{1}{2}•3•\sqrt{7}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
所以$\frac{1}{3}R$（6+6+$\frac{3\sqrt{7}}{2}$+$\frac{3\sqrt{7}}{2}$）=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
所以R=$\frac{4\sqrt{7}-7}{6}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，三棱錐D-ABC的體積，考查分割法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．