Question

11．已知$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow$=（2，-1），且（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）．求
（1）$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角的余弦值；
（2）k值．

Answer 1

分析 （1）求出|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow$|，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，代入夾角公式計(jì)算；
（2）有向量垂直得（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，列出方程解出k．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=6-4=2.$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{2}{5\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．
（2）∵（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），∴（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-k${\overrightarrow}^{2}$+（k-1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，即25-5k+2（k-1）=0，解得k=$\frac{23}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．