Question

8．在△ABC中，AB=3，AC=2，O為△ABC的內(nèi)心，且$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，x+2y=1，則cosA=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)，使用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AO}$，求出根據(jù)x+2y=1列方程求出BC，然后解三角形求出cosA．

解答 解：設(shè)BC=a，∵O為△ABC的內(nèi)心，∴a$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴a$\overrightarrow{OA}$+2（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$）+3（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{0}$．
∴（a+5）$\overrightarrow{OA}$=-2$\overrightarrow{AB}$-3$\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{a+5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{a+5}$$\overrightarrow{AC}$．
∴x=$\frac{2}{a+5}$，y=$\frac{3}{a+5}$，∵x+2y=1，∴$\frac{8}{a+5}$=1，解得a=3．
∴△ABC是底為2，腰為3的等腰三角形，過B作出底邊上的高BD，則AD=1，∴cosA=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，向量的線性運(yùn)算，解三角形等知識(shí)．屬于中檔題．