Question

19．已知a、b、c分別是△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊，（2b-c）cosA-acosC=0
（1）求角A的大小；
（2）求函數(shù)y=2$\sqrt{3}$sinB+2sin（C-$\frac{π}{6}$）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知的等式，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinB不為0，得到cosA的值，由A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．
（2）由A=$\frac{π}{3}$，可得 B+C=$\frac{2π}{3}$，化簡函數(shù)y等于 2sin（B+$\frac{π}{6}$），再根據(jù)B+$\frac{π}{6}$的范圍求得函數(shù)的最大值．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）將（2b-c）cosA-acosC=0，代入正弦定理得：
（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，
即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，
由B∈（0，180°），得到sinB≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$，又A∈（0，π），
則A的度數(shù)為$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，
∴B+C=$\frac{2π}{3}$．   …（8分）
故函數(shù)y=2$\sqrt{3}$sinB+2sin（C-$\frac{π}{6}$）=2$\sqrt{3}$sinB+2sin（$\frac{π}{2}$-B）=2$\sqrt{3}$sinB+2cosB=4sin（B+$\frac{π}{6}$）． …（11分）
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，…（13分）
故函數(shù)y=2$\sqrt{3}$sinB+2sin（C-$\frac{π}{6}$）的最大值為4…（14分）

點評 此題考查學(xué)生靈活運用正弦定理化簡求值，靈活運用兩角和的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡求值，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是一道中檔題．