Question

19．等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為S_n，且滿足a₂+a₄=-7，S₆=-24．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過等差數(shù)列中下標(biāo)和相等兩項(xiàng)和相等及S₆=-24可知a₃+a₄=-8，利用a₂+a₄=-7可知公差d及a₃，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知b_n=-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，S₆=（a₁+a₆）+（a₂+a₅）+（a₃+a₄）=3（a₃+a₄）=-24，
∴a₃+a₄=-8，
又∵a₂+a₄=-7，
∴d=a₃-a₂=-1，a₃=$\frac{{a}_{2}+{a}_{4}}{2}$=-$\frac{7}{2}$，
∴a_n=a₃+（n-3）d=-$\frac{7}{2}$-（n-3）=-$\frac{2n+1}{2}$；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}$=$\frac{2}{n（-\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2}）}$=-$\frac{2}{n（n+2）}$=-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=-（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=-（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，利用裂項(xiàng)相消法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．