Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，已AB∥CD，AB=2DC，M為PB的中點．
（1）求證：CM∥平面PAD；
（2）若AD⊥AB，BC⊥PA，平面PAB⊥平面ABCD，求證：PA⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （1）取PA的中點N，連接MN，DN，證明四邊形MNDC是平行四邊形，得出CM∥DN，從而證明CM∥平面PAD；
（2）由平面PAB⊥平面ABCD，得出AD⊥平面PAB，證明AD⊥PA；再由PA⊥BC，證明PA⊥平面ABCD．

解答 解：（1）證明：如圖所示，

取PA的中點N，連接MN，DN，則MN∥AB，且MN=$\frac{1}{2}$AB；
又AB∥CD，AB=2DC，
∴MN=CD，且MN=CD，
∴四邊形MNDC是平行四邊形，
∴CM∥DN；
又DN?平面PAD，CM?平面PAD，
∴CM∥平面PAD；
（2）證明：∵AD⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，
且平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴AD⊥平面PAB，
又PA?平面PAB，
∴AD⊥PA；
又PA⊥BC，
且BC與AD相交，
BC?平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的推理與證明問題，也考查了邏輯思維能力的應(yīng)用問題，是中檔題目．