Question

15．已知函數(shù)f（x）=2^x-2的定義域?yàn)閇1，3]，f（x）的圖象上的左、右兩個端點(diǎn)分別為A、B，$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，λ∈[0，1]，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N（3-2λ，f（3-2λ）），若不等式|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為（　�。�

• A． $\frac{3}{ln2}$+$\frac{3（lo{g}_{2}3）}{ln2}$-1
• B． 3log₂$\frac{3}{ln2}$-$\frac{3}{ln2}$-1
• C． log₂3-3log₂$\frac{3}{ln2}$+1
• D． $\frac{3}{ln2}$-$\frac{3（lo{g}_{2}3）}{ln2}$+1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，得出$\overrightarrow{MN}$的坐標(biāo)表示，計(jì)算|$\overrightarrow{MN}$|的最大值，即可求出k的最小值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2^x-2的定義域?yàn)閇1，3]，f（x）的圖象上的左、右兩個端點(diǎn)分別為A、B，
∴A（1，0），B（3，6），
又∵$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$=（λ，0）+（3-3λ，6-6λ）=（3-2λ，6-6λ），
點(diǎn)N（3-2λ，f（3-2λ）），
∴$\overrightarrow{MN}$=（0，f（3-2λ）-6+6λ）=（0，2^3-2λ-8+6λ），
∴|$\overrightarrow{MN}$|=|2^3-2λ-8+6λ|≤k；
設(shè)g（x）=2^3-2x-8+6x，x∈[0，1]，
∴g（x）=8•${（\frac{1}{4}）}^{x}$-8+6x，
∴g′（x）=8•ln$\frac{1}{4}$•${（\frac{1}{4}）}^{x}$+6；
令g′（x）=0，解得x=${log}_{\frac{1}{4}}$$\frac{3}{8ln2}$，
∴當(dāng)x=${log}_{\frac{1}{4}}$$\frac{3}{8ln2}$時，g（x）有最值小是
8•$\frac{3}{8ln2}$-8+6${log}_{\frac{1}{4}}$$\frac{3}{8ln2}$=$\frac{3}{ln2}$-8+6（log₄8+log₄$\frac{ln2}{3}$）=$\frac{3}{ln2}$+3log₂$\frac{ln2}{3}$+1=$\frac{3}{ln2}$-3log₂$\frac{3}{ln2}$+1，
∴|g（x）|≤3log₂$\frac{3}{ln2}$-$\frac{3}{ln2}$-1；
∴k的最小值是3log₂$\frac{3}{ln2}$-$\frac{3}{ln2}$-1．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，是綜合性題目．