Question

15．若$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（sin（ωx+φ），cos（ωx+φ））（ω＞0，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，已知點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₃，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上的任意兩點(diǎn)，若|y₁-y₂|=4時，|x₁-x₂|最小值為$\frac{π}{2}$，且函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（I）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式寫出f（x）的解析式并化簡，根據(jù)|y₁-y₂|=4時，|x₁-x₂|最小值為$\frac{π}{2}$，求出周期，繼而得到ω，根據(jù)f（x）的奇偶性和φ的范圍得出φ．得出f（x）的解析式，求出f（$\frac{π}{6}$）；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律寫出g（x）的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解出g（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+$\frac{π}{3}$）．∴f_max（x）-f_min（x）=4．
∵|y₁-y₂|=4時，|x₁-x₂|最小值為$\frac{π}{2}$，∴f（x）的周期T=$\frac{π}{2}$×2=π．∴ω=2．
∵f（x）是奇函數(shù)，且0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$．∴f（x）=2sin2x，∴f（$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
（2）g（x）=2sin2（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{π}{12}+kπ$≤x≤$\frac{5π}{12}+kπ$，
∴函數(shù)g（x）單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{12}+kπ$，$\frac{5π}{12}+kπ$]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．