Question

2．如果一對(duì)兔子每月能生一對(duì)小兔子（一雄一雌），而每1對(duì)小兔子在它出生后的第三個(gè)月里，又能生1對(duì)小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，有1對(duì)初生的小兔子開(kāi)始，n個(gè)月后會(huì)有a_n對(duì)兔子（a₁=1，a₂=1，a₃=2，a₄=3，a₅=5…），設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，則S_n與2的大小關(guān)系是S_n＜2．（填“＞”、“＜”或“=”）

Answer 1

分析 由已知可得：a_n+2=a_n+1+a_n＞0，可得b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：由已知可得：a_n+2=a_n+1+a_n＞0，
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{1}+{a}_{2}}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{2}+{a}_{3}}）$+$（\frac{1}{{a}_{3}}-\frac{1}{{a}_{3}+{a}_{4}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n-1}+{a}_{n}}）$+$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}）$
=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}+{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$
=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}+{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$＜2．
故答案為：＜．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“斐波那契數(shù)列”的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．