Question

4．已知正數(shù)x，y滿足2x+y=1，則4x²+y²+$\frac{1}{xy}$的最小值為$\frac{17}{2}$．

Answer 1

分析 由基本不等式可得0＜xy≤$\frac{1}{8}$，令t=xy，0＜t≤$\frac{1}{8}$，由4t-$\frac{1}{t}$在0＜t≤$\frac{1}{8}$遞增，可得最小值．

解答 解：正數(shù)x，y滿足2x+y=1，
可得2x+y≥2$\sqrt{2xy}$，
即有0＜xy≤$\frac{1}{8}$，
則4x²+y²+$\frac{1}{xy}$=（2x+y）²-4xy+$\frac{1}{xy}$
=1-（4xy-$\frac{1}{xy}$），
令t=xy，0＜t≤$\frac{1}{8}$，
由4t-$\frac{1}{t}$在0＜t≤$\frac{1}{8}$遞增，
可得t=$\frac{1}{8}$時(shí)，4t-$\frac{1}{t}$取得最大值，且為-$\frac{15}{2}$，
則4x²+y²+$\frac{1}{xy}$在xy=$\frac{1}{8}$時(shí)，取得最小值，且為1+$\frac{15}{2}$=$\frac{17}{2}$．
故答案為：$\frac{17}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，同時(shí)考查配方法和函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．