Question

12．設函數(shù)f（x）=log₂（x-a）（a∈R）．
（1）當a=2時，解方程f（x）-f（x+1）=-1；
（2）如圖所示的平面直角坐標系中，每一個小方格的邊長均為1，當a=1時，試在該坐標系中作出函數(shù)y=|f（x）|的簡圖，并寫出（不需要證明）它的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）當a=2，根據(jù)對數(shù)方程的性質(zhì)解方程即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）當a=2時，f（x）=log₂（x-2），
則方程f（x）-f（x+1）=-1等價為log₂（x-2）-log₂（x-1）=-1，
即1+log₂（x-2）=log₂（x-1），
即log₂2（x-2）=log₂（x-1），
則2（x-2）=x-1，即x=3，此時log₂（3-2）-log₂（3-1）=0-1=-1，方程成立．
即方程的解集為{3}．
（2）當a=1時，f（x）=log₂（x-1），
則y=|log₂（x-1）|=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x-1），}&{x≥2}\\{-lo{g}_{2}（x-1），}&{1＜x＜2}\end{array}\right.$，
則對應的圖形為，
則函數(shù)的定義域為（1，+∞），
函數(shù)的值域為[0，+∞），
函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為為（1，2），函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2，+∞）．

點評 本題主要考查對數(shù)方程和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的考查，比較基礎．