Question

4．已知函數(shù)$f（x）={log_a}（ax）•{log_a}（{a^2}x）$在x∈[2，8]時取得最大值2，最小值$-\frac{1}{4}$，求a．

Answer 1

分析 利用換元思想，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，結(jié)合配方法求出結(jié)果，注意分類討論．

解答 解：由題意知，函數(shù)$f（x）={log_a}（ax）•{log_a}（{a^2}x）$
=（log_ax+1）（log_ax+2）
=log_a²x+3log_ax+2=（log_ax+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．
令t=log_ax，則y=（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．
當(dāng)f（x）取最小值-$\frac{1}{4}$時，t=log_ax=-$\frac{3}{2}$．
又∵x∈[2，8]，∴a∈（0，1）．
∵f（x）是關(guān)于t的二次函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的最大值必在x=2或x=8時取得．
若（log_a2+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$=2，則a=${2}^{-\frac{1}{3}}$，
此時f（x）取得最小值時，x=$（{2}^{-\frac{1}{3}}）^{-\frac{3}{2}}$=$\sqrt{2}$∉[2，8]，舍去．
若（log_a8+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$=2，則a=$\frac{1}{2}$，
此時f（x）取得最小值時，x=$（\frac{1}{2}）^{-\frac{3}{2}}$=2$\sqrt{2}$∈[2，8]，
符合題意，
∴a=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合構(gòu)成的函數(shù)的最值的求法，對數(shù)函數(shù)為內(nèi)層時，一般采用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求解，注意中間量的取值范圍．